8. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста (км/ч)
• \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч)
• \( t_1 \) — время первого велосипедиста (ч)
• \( t_2 \) — время второго велосипедиста (ч)
• \( S = 130 \) км — расстояние

Из условия задачи:

• \( v_1 = v_2 + 3 \)
• \( t_1 = t_2 - 3 \)

Вспомним формулу расстояния: \( S = v \cdot t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).

Запишем уравнения для времени каждого велосипедиста:

• \( t_1 = \frac{130}{v_1} \)
• \( t_2 = \frac{130}{v_2} \)

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение \( t_1 = t_2 - 3 \):

\[ \frac{130}{v_1} = \frac{130}{v_2} - 3 \]

Теперь подставим \( v_1 = v_2 + 3 \):

\[ \frac{130}{v_2 + 3} = \frac{130}{v_2} - 3 \]

Решим это уравнение относительно \( v_2 \).

1. Приведём правую часть к общему знаменателю: \[ \frac{130}{v_2 + 3} = \frac{130 - 3v_2}{v_2} \]
2. Перемножим крест-накрест: \[ 130v_2 = (130 - 3v_2)(v_2 + 3) \]
3. Раскроем скобки: \[ 130v_2 = 130v_2 + 130  3 - 3v_2^2 - 9v_2 \]
4. Упростим: \[ 130v_2 = 130v_2 + 390 - 3v_2^2 - 9v_2 \]
5. Перенесём все члены в одну сторону: \[ 3v_2^2 + 9v_2 - 390 = 0 \]
6. Разделим на 3: \[ v_2^2 + 3v_2 - 130 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение для \( v_2 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 \]
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \)
9. Найдём корни: \[ v_{2,1} = \frac{-3 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ v_{2,2} = \frac{-3 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13 \]
10. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v_2 = 10 \) км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.