8. \(\frac{5}{6}(\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}) = 3x - 2\frac{1}{6}\)

Решение:

Переведём смешанное число в неправильную дробь: \(2\frac{1}{6} = \frac{12+1}{6} = \frac{13}{6}\).

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

\(6 \cdot \frac{5}{6}(\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}) = 6(3x - \frac{13}{6})\)

\(5(\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}) = 18x - 13\)

Раскроем скобки в левой части:

\(\frac{5}{2}x - \frac{10}{3} = 18x - 13\)

Перенесём члены с \(x\) в правую часть, а числа — в левую:

\(13 - \frac{10}{3} = 18x - \frac{5}{2}x\)

Приведём дроби к общему знаменателю (3 для левой части, 2 для правой):

\(\frac{39}{3} - \frac{10}{3} = \frac{36}{2}x - \frac{5}{2}x\)

\(\frac{29}{3} = \frac{31}{2}x\)

Чтобы найти \(x\), разделим обе части на \(\frac{31}{2}\) (или умножим на \(\frac{2}{31}\)):

\(x = \frac{29}{3} \cdot \frac{2}{31}\)

\(x = \frac{29 \cdot 2}{3 \cdot 31}\)

\(x = \frac{58}{93}\)

Ответ: \(x = \frac{58}{93}\).