8. Используя данные о функции \( y = 2x^2 - x^4 \) и её производной, найдите значения экстремумов функции.

Решение:

Экстремумы функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует везде.

Сначала найдем производную функции \( y = 2x^2 - x^4 \):

\[ y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 4x - 4x^3 = 0 \]\[ 4x(1 - x^2) = 0 \]

Это дает три решения:

• \( 4x = 0 \implies x = 0 \)
• \( 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \) или \( x = -1 \)

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных этими точками:

• Интервал \( (-\infty; -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( y' = 4(-2)(1 - (-2)^2) = -8(1 - 4) = -8(-3) = 24 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-1; 0) \): Возьмем \( x = -0.5 \). \( y' = 4(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -2(1 - 0.25) = -2(0.75) = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (0; 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( y' = 4(0.5)(1 - (0.5)^2) = 2(1 - 0.25) = 2(0.75) = 1.5 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (1; \infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( y' = 4(2)(1 - 2^2) = 8(1 - 4) = 8(-3) = -24 < 0 \). Функция убывает.

Таким образом, мы имеем:

• Точка \( x = -1 \) — локальный максимум (функция меняет рост с + на -).
• Точка \( x = 0 \) — локальный минимум (функция меняет рост с - на +).
• Точка \( x = 1 \) — локальный максимум (функция меняет рост с + на -).

Найдем значения функции в этих точках:

• При \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 \).
• При \( x = 0 \): \( y = 2(0)^2 - (0)^4 = 0 - 0 = 0 \).
• При \( x = 1 \): \( y = 2(1)^2 - (1)^4 = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 \).

Ответ: Локальные максимумы равны 1 (при \( x = ± 1 \)), локальный минимум равен 0 (при \( x = 0 \)).