9. Значение определенного интеграла \( \int_{-1}^{3} 2x^3 dx \)

Решение:

Найдем первообразную для функции \( 2x^3 \):

\[ \int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{1}{2} x^4 + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{-1}^{3} 2x^3 dx = \left[ \frac{1}{2} x^4 \right]_{-1}^{3} \]\[ = \frac{1}{2} (3)^4 - \frac{1}{2} (-1)^4 \]\[ = \frac{1}{2} (81) - \frac{1}{2} (1) \]\[ = \frac{81 - 1}{2} = \frac{80}{2} = 40 \]

Ответ: 40.