№8. На рисунке изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁; точка M лежит на ребре BB₁, точка N — на ребре CC₁, точка K — на ребре DD₁. Назовите плоскости, в которых лежит точка M. Найдите точку пересечения прямых MN и BC и обозначьте её E. Найдите точку пересечения прямой KN и плоскости ABC и обозначьте её F. Найдите линию пересечения плоскостей ABC и MNK.

Точка M лежит на ребре BB₁, которое является общим ребром граней ABB₁A₁ и BB₁C₁C. Поэтому M принадлежит плоскостям ABB₁ и BB₁C.

Точки M и N лежат в плоскости боковой грани BB₁C₁C; в этой же плоскости лежит прямая BC. Следовательно, E = MN ∩ BC. Если точка E оказывается за пределами отрезка BC, пересекаются продолжения прямых.

Прямая KN лежит в плоскости грани CDD₁C₁. Эта плоскость пересекает плоскость основания ABC по прямой CD, поэтому F = KN ∩ CD, с учётом продолжения прямых при необходимости.

Плоскости ABC и MNK имеют две общие точки E и F. Их линия пересечения — EF.

Ответ: плоскости точки M — ABB₁ и BB₁C; пересечение плоскостей ABC и MNK — прямая EF.