№9. Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь четырёхугольника, если AC ⟂ BD, AC = 10 см и BD = 1,2 дм.

Доказательство. Пересекающиеся диагонали AC и BD являются прямыми, лежащими в одной плоскости: через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Точки A и C лежат на прямой AC, а точки B и D — на прямой BD. Значит, все вершины четырёхугольника ABCD принадлежат этой плоскости.

Переведём длину диагонали в сантиметры: 1,2 дм = 12 см. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей:

\(S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12=60\) см².

Ответ: площадь четырёхугольника равна 60 см².