8. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Поскольку точки D и E лежат на стороне AC и AD = CE, середина отрезка DE совпадает с серединой AC: равенство AD = CE означает, что точки D и E равноудалены от середины AC.

Из BD = BE следует, что точка B равноудалена от D и E. Значит, B лежит на серединном перпендикуляре к DE. Середина DE является также серединой AC, а DE лежит на прямой AC, поэтому этот серединный перпендикуляр является и серединным перпендикуляром к AC.

Следовательно, BA = BC, то есть треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.