9. На биссектрисе BM равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка D, на отрезке AM — точка E и на отрезке CM — точка F, причём EM = FM. Найдите угол CFD, если угол FDE равен 80°.

Так как ABC равнобедренный с основанием AC, биссектриса BM является также высотой и медианой: BM ⟂ AC, а AM = CM. Следовательно, треугольники DME и DMF прямоугольные, имеют общий катет DM и равные катеты EM = FM. Они равны по двум катетам, поэтому ∠MDE = ∠FDM.

Точки E и M и точки F и M лежат на одной прямой, причём лучи ME и MF противоположны. Из равенства прямоугольных треугольников следует, что лучи DE и DF расположены симметрично относительно DM. Поэтому ∠EDF = 2∠MDE.

Поскольку E лежит на луче EM, а F — на луче FM, угол FDE совпадает с ∠EDF и равен 80°. Значит, ∠MDF = ∠MDE = 40°.

В прямоугольном треугольнике DMF: ∠DFM = 180° − 90° − 40° = 50°. Луч FC противоположен лучу FM, поэтому ∠CFD = 180° − 50° = 130°.

Ответ: 130°.