8. Найдите площадь треугольника АВС, если \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AB=14 \text{см} \), \( BC=10 \text{см} \), \( AC=15 \text{см} \).

Решение:

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется формула:

\[ S = \frac{1}{2} ab \, \sin \gamma \]

У нас известны три стороны треугольника: \( AB=c=14 \text{ см} \), \( BC=a=10 \text{ см} \), \( AC=b=15 \text{ см} \) и один угол \( \angle A = 30^{\circ} \).

Площадь треугольника можно найти по формуле, используя две стороны и угол между ними. Используем стороны \( AB \) и \( AC \) и угол \( \angle A \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot \sin 30^{\circ} \]

Мы знаем, что \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ S = 7 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 105 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2} = 52,5 \text{ см}^2 \]

Ответ: 52,5 см²