9. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его площадь равна 10 см², а катеты относятся как 1:5.

Решение:

Пусть один катет равен \( x \) см, тогда второй катет равен \( 5x \) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 5x \]

Из условия задачи известно, что площадь равна 10 см²:

\[ \frac{1}{2} \cdot x \cdot 5x = 10 \]

\[ \frac{5x^2}{2} = 10 \]

\[ 5x^2 = 20 \]

\[ x^2 = \frac{20}{5} \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = 2 \text{ см} \]

Теперь найдём второй катет:

\[ 5x = 5 \cdot 2 \text{ см} = 10 \text{ см} \]

Проверка: Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 10 \text{ см}^2 \).

Ответ: катеты равны 2 см и 10 см.