№8. Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольному треугольнику, у которого основание равно 120 м, а боковая сторона 100 м.

В условии указаны основание и боковая сторона прямоугольного треугольника, но не сказано, какая из них является катетом, а какая — гипотенузой. Рассмотрим оба допустимых случая.

1) Обе указанные стороны — катеты. Площадь треугольника: \(S=\frac{120\cdot100}{2}=6000\text{ м}^2\). Если сторона равновеликого квадрата равна \(a\), то \(a^2=6000\), откуда \(a=20\sqrt{15}\text{ м}\approx77{,}46\text{ м}\).

2) 120 м — гипотенуза, 100 м — катет. Второй катет по теореме Пифагора: \(\sqrt{120^2-100^2}=\sqrt{4400}=20\sqrt{11}\text{ м}\). Тогда площадь треугольника равна \(\frac{100\cdot20\sqrt{11}}{2}=1000\sqrt{11}\text{ м}^2\), а сторона равновеликого квадрата \(a=\sqrt{1000\sqrt{11}}\text{ м}\approx57{,}44\text{ м}\).

Если же 100 м — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом 120 м, такой треугольник невозможен: гипотенуза должна быть самой длинной стороной.

Ответ: данных недостаточно для единственного значения; возможны \(20\sqrt{15}\) м или \(\sqrt{1000\sqrt{11}}\) м — в зависимости от того, какие стороны указаны.