8. Найдите стороны параллелограмма Q T M R, если P = 36, RM = 1,5 RN, точка N лежит на QR, а TN — биссектриса угла QTM.

Так как \(QN\parallel TM\), а \(TN\) — биссектриса угла \(QTM\), в треугольнике \(TQN\) равны углы при \(T\) и \(N\). Следовательно, \(QN=TQ\). В параллелограмме \(TQ=RM\), значит, \(QN=RM\).

Обозначим \(RM=x\). Из \(RM=1.5RN\) получаем \(RN=\frac{2}{3}x\). Тогда \(QR=QN+NR=x+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}x\). Половина периметра равна сумме соседних сторон:

\(x+\frac{5}{3}x=18\), откуда \(\frac{8}{3}x=18\) и \(x=6.75\). Другая сторона равна \(\frac{5}{3}\cdot6.75=11.25\).

Ответ: RM = QT = 6,75; QR = TM = 11,25.