8. Найдите стороны параллелограмма QTM R (вершины по порядку Q–T–M–R), если P = 36. По рисунку N лежит на QR, TN делит угол QTM пополам, RM = 1,5 RN.

Так как QR параллельна TM, углы QTN и TNQ равны: это накрест лежащие углы. По рисунку TN делит угол QTM пополам, поэтому \(\angle QTN=\angle NTM\). Следовательно, \(\angle QTN=\angle TNQ\), и в треугольнике QTN противоположные этим углам стороны равны: QT = QN.

Пусть RM = QT = \(x\). Из условия \(RM=1{,}5RN\), значит \(RN=\frac{2}{3}x\). Тогда \(QR=QN+NR=x+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}x\). Периметр: \(2(x+\frac{5}{3}x)=36\), откуда \(x=6{,}75\), а \(QR=11{,}25\).

Ответ: QT = MR = 6,75; TM = RQ = 11,25.