8. Найдите точки графика функции f(x) = x^3 + 3x^2, в которых касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

1. Условие параллельности оси абсцисс:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции.

Значит, нам нужно найти точки, где f'(x) = 0.

2. Находим производную функции f(x):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2) \]

\[ f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x \]

\[ f'(x) = 3x^2 + 6x \]

3. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[ 3x^2 + 6x = 0 \]

\[ 3x(x + 2) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня:

x1 = 0

x2 = -2

4. Находим соответствующие значения y (ординаты точек):

Для x1 = 0:

\[ f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 = 0 \]

Точка: (0, 0)

Для x2 = -2:

\[ f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 3(4) = -8 + 12 = 4 \]

Точка: (-2, 4)

Ответ: Точки графика, в которых касательная параллельна оси абсцисс, это (0, 0) и (-2, 4).