8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в 4 раза меньше другого угла. Рассмотрите все возможные случаи.

Решение:

В равнобедренном треугольнике есть два равных угла (углы при основании) и один угол при вершине.

Случай 1: Угол при вершине в 4 раза меньше одного из углов при основании.

Пусть \( x \) — угол при вершине. Тогда углы при основании равны \( 4x \).

\( x + 4x + 4x = 180° \)

\( 9x = 180° \)

\( x = 20° \).

Углы при основании: \( 4 \cdot 20° = 80° \).

Углы треугольника: 20°, 80°, 80°.

Случай 2: Один из углов при основании в 4 раза меньше другого угла при основании.

Это невозможно, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Случай 3: Угол при основании в 4 раза меньше угла при вершине.

Пусть \( x \) — угол при основании. Тогда угол при вершине равен \( 4x \).

\( x + x + 4x = 180° \)

\( 6x = 180° \)

\( x = 30° \).

Углы при основании: 30°, 30°.

Угол при вершине: \( 4 · 30° = 120° \).

Углы треугольника: 30°, 30°, 120°.

Ответ: Углы треугольника могут быть 20°, 80°, 80° или 30°, 30°, 120°.