8. Найдите все значения переменной, при которых разность дробей x/(x-2) - 1/x равна дроби 4/(x^2 - 2x).

Привет! Давай решим это уравнение.

У нас есть уравнение:

x / (x - 2) - 1 / x = 4 / (x² - 2x)

Шаг 1: Находим общий знаменатель.

Заметим, что x² - 2x можно разложить как x(x - 2). Это и есть наш общий знаменатель.

Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю.

Первую дробь x / (x - 2) умножаем на x/x:

(x * x) / (x * (x - 2)) = x² / (x² - 2x)

Вторую дробь 1 / x умножаем на (x - 2) / (x - 2):

(1 * (x - 2)) / (x * (x - 2)) = (x - 2) / (x² - 2x)

Теперь уравнение выглядит так:

x² / (x² - 2x) - (x - 2) / (x² - 2x) = 4 / (x² - 2x)

Шаг 3: Убираем знаменатель.

Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем приравнять числители. Но перед этим нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть x(x - 2) ≠ 0. Это значит, что x ≠ 0 и x ≠ 2.

Приравниваем числители:

x² - (x - 2) = 4

Шаг 4: Решаем полученное уравнение.

x² - x + 2 = 4

Переносим 4 влево:

x² - x + 2 - 4 = 0

x² - x - 2 = 0

Это квадратное уравнение. Можно решить его через дискриминант или по теореме Виета.

По теореме Виета: сумма корней равна 1, а произведение — -2.

Подбираем числа: 2 и -1.

2 + (-1) = 1 (верно)

2 * (-1) = -2 (верно)

Значит, корни уравнения: x₁ = 2 и x₂ = -1.

Шаг 5: Проверяем условия допустимости.

Мы помним, что x ≠ 0 и x ≠ 2.

Корень x₁ = 2 не подходит, потому что знаменатель обратится в ноль.

Корень x₂ = -1 подходит, так как он не равен 0 и 2.

Ответ: -1