8. Найдите значение выражения: $$1 \frac{1}{6} - 5 \frac{1}{9} : \left( 2 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{3}{5} \right)$$

Решение:

Выполним действия в скобках, начиная с умножения, затем сложения. После этого выполним деление, а затем вычитание.

1. Приведём смешанные числа к виду неправильных дробей:
• \(1 \frac{1}{6} = \frac{7}{6}\)
• \(5 \frac{1}{9} = \frac{46}{9}\)
• \(2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
• \(1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
• \(2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\)
2. Выполним умножение в скобках: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{13}{5} = \frac{5 \times 13}{4 \times 5} = \frac{65}{20} = \frac{13}{4} \]
3. Выполним сложение в скобках: \[ \frac{5}{2} + \frac{13}{4} = \frac{10}{4} + \frac{13}{4} = \frac{23}{4} \]
4. Выполним деление: \[ \frac{46}{9} : \frac{23}{4} = \frac{46}{9} \cdot \frac{4}{23} = \frac{2 \times 23 \times 4}{9 \times 23} = \frac{8}{9} \]
5. Выполним вычитание: \[ \frac{7}{6} - \frac{8}{9} \]
6. Приведём дроби к общему знаменателю (18): \[ \frac{7}{6} = \frac{7 \times 3}{6 \times 3} = \frac{21}{18} \] \[ \frac{8}{9} = \frac{8 \times 2}{9 \times 2} = \frac{16}{18} \]
7. Вычислим: \[ \frac{21}{18} - \frac{16}{18} = \frac{5}{18} \]

Ответ: \(\frac{5}{18}\).