8. Найдите значение выражения $$\sqrt{48 \cdot 80 \cdot 15}$$. Ответ:

Решение:

1. Разложим числа под корнем на простые множители:
   • $$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3$$
   • $$80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^4 \times 5$$
   • $$15 = 3 \times 5$$
2. Подставим разложения в выражение под корнем: \[ 48 \cdot 80 \cdot 15 = (2^4 \times 3) \times (2^4 \times 5) \times (3 \times 5) \]
3. Сгруппируем одинаковые множители: \[ = 2^4 \times 2^4 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \]
4. Сложим степени одинаковых оснований: \[ = 2^{4+4} \times 3^{1+1} \times 5^{1+1} = 2^8 \times 3^2 \times 5^2 \]
5. Вычислим корень: \[ \sqrt{2^8 \times 3^2 \times 5^2} = \sqrt{2^8} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{5^2} \]
6. При извлечении корня из степени, показатель степени делится на 2: \[ = 2^{8/2} \times 3^{2/2} \times 5^{2/2} = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \]
7. Вычислим результат: \[ 2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 3 \times 5 = 48 \times 5 = 240 \]

Ответ: 240