8. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение:

Пусть меньший катет равен \( x \).

Тогда больший катет равен \( x+2 \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

По условию \( S = 24 \).

\[ 24 = \frac{1}{2}x(x+2) \]

\[ 48 = x(x+2) \]

\[ 48 = x^2 + 2x \]

\[ x^2 + 2x - 48 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-48)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \]

Два возможных значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем \( x = 6 \).

Меньший катет равен 6.

Ответ: 6