8) Постройте график функции: y = x² - 3|x| - 10

Решение:

Функция \( y = x^2 - 3|x| - 10 \) является чётной, так как \( y(-x) = (-x)^2 - 3|-x| - 10 = x^2 - 3|x| - 10 = y(x) \). Поэтому достаточно построить график для \( x \geq 0 \), а затем симметрично отразить его относительно оси \( Oy \).

Для \( x \geq 0 \), \( |x| = x \). Функция принимает вид: \( y = x^2 - 3x - 10 \).

Найдем точки пересечения параболы \( y = x^2 - 3x - 10 \) с осями координат:

• С осью \( Oy \) (при \( x=0 \)): \( y = 0^2 - 3(0) - 10 = -10 \). Точка \( (0, -10) \).
• С осью \( Ox \) (при \( y=0 \)): \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение: \( D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \).
• \( x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \).
• \( x_1 = \frac{3+7}{2} = 5 \). \( x_2 = \frac{3-7}{2} = -2 \).
• Для \( x \geq 0 \), нас интересует корень \( x=5 \). Точка \( (5, 0) \).

Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 3x - 10 \): \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

\( y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 10 = 2.25 - 4.5 - 10 = -12.25 \). Вершина параболы: \( (1.5, -12.25) \).

Построим график для \( x \geq 0 \) по точкам: \( (0, -10), (1.5, -12.25), (5, 0) \) и другим точкам, например \( x=2 \): \( y = 2^2 - 3(2) - 10 = 4 - 6 - 10 = -12 \). Точка \( (2, -12) \).

Теперь отразим эту часть графика симметрично относительно оси \( Oy \) для \( x < 0 \). Получим точки \( (-1.5, -12.25), (-2, 0), (-5, 0), (-2, -12) \).

Ответ: График функции \( y = x^2 - 3|x| - 10 \) представляет собой параболу, симметричную относительно оси \( Oy \), с вершинами в точках \( (1.5, -12.25) \) и \( (-1.5, -12.25) \), пересекающую ось \( Oy \) в точке \( (0, -10) \) и ось \( Ox \) в точках \( (5, 0) \) и \( (-5, 0) \).