8. При каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение: а) \(x^4-6x^2+a=0\); б) \(x^4+ax^2+9=0\)?

Положим \(t=x^2\), где \(t\ge 0\). Уравнение имеет действительный корень по \(x\) тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение по \(t\) имеет корень при \(t\ge0\).

1. а) Получаем \(t^2-6t+a=0\), то есть \(a=6t-t^2=9-(t-3)^2\). При \(t\ge0\) выражение принимает все значения не больше 9. Поэтому корней нет при \(a>9\).

2. б) Получаем \(t^2+at+9=0\). При \(a<0\) минимум этой квадратичной функции на \(t\ge0\) достигается в точке \(t=-a/2\) и равен \(9-a^2/4\). При \(a\ge0\) функция положительна на \(t\ge0\). Следовательно, корень при \(t\ge0\) существует ровно при \(a\le-6\); при \(a=-6\) имеется корень \(t=3\). Значит, корней по \(x\) нет при \(a>-6\).

Ответ: а) \(a>9\); б) \(a>-6\).