С–15. Дробные рациональные уравнения. 1. При каких значениях с равно нулю значение дроби: а) \(\frac{2c^3-8c}{c^2+7c+10}\); б) \(\frac{c^4-6c^3+9c^2}{c^4-81}\)?

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. а) \(2c^3-8c=2c(c-2)(c+2)\), а \(c^2+7c+10=(c+5)(c+2)\). Область допустимых значений: \(c\ne-5,-2\). Нули числителя: \(c=0,2,-2\); значение \(-2\) исключается из области допустимых значений. Ответ: \(c=0,2\).

2. б) \(c^4-6c^3+9c^2=c^2(c-3)^2\), а \(c^4-81=(c^2-9)(c^2+9)\). Для действительных чисел знаменатель обращается в ноль при \(c=3\) и \(c=-3\), поэтому эти значения недопустимы. Нули числителя: \(c=0,3\); значение 3 исключается.

Ответ: а) \(c=0,2\); б) \(c=0\).