8. Решить неравенство \( x^2 + x \geq 0 \)

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 + x \geq 0 \), найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + x = 0 \).

1. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x + 1) = 0 \).
2. Корни уравнения: \( x = 0 \) и \( x + 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \).
3. На числовой прямой отметим точки -1 и 0. Парабола \( y = x^2 + x \) ветвями вверх. Значения функции \( \geq 0 \) (то есть положительные или равные нулю) будут на промежутках \( (-\infty; -1] \) и \( [0; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) \).