8. Решите неравенство (x+3)(x-7) ≤ 0.

Задание 8. Решение линейного неравенства

Чтобы решить неравенство \( (x+3)(x-7) \le 0 \), нам нужно найти интервалы, на которых произведение двух множителей отрицательно или равно нулю.

1. Найдём корни уравнения \( (x+3)(x-7) = 0 \). Корни будут \( x = -3 \) и \( x = 7 \).

2. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -3] \), \( [-3, 7] \), \( [7, \infty) \).

3. Определим знак произведения \( (x+3)(x-7) \) в каждом интервале:

• Для интервала \( x < -3 \) (например, возьмём \( x = -4 \)): \( (-4+3)(-4-7) = (-1)(-11) = 11 \). Произведение положительное (+).
• Для интервала \( -3 < x < 7 \) (например, возьмём \( x = 0 \)): \( (0+3)(0-7) = (3)(-7) = -21 \). Произведение отрицательное (-).
• Для интервала \( x > 7 \) (например, возьмём \( x = 8 \)): \( (8+3)(8-7) = (11)(1) = 11 \). Произведение положительное (+).

4. Нам нужно найти интервалы, где произведение \( \le 0 \), то есть отрицательное или равное нулю.

Это интервал \( [-3, 7] \), включая сами корни, так как неравенство нестрогое.

Ответ: \( [-3, 7] \)