8. Решите систему уравнений: \( \begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} = 5 \end{cases} \)

Задание 8. Решение системы дробных линейных уравнений

Чтобы решить эту систему, сначала избавимся от знаменателей в каждом уравнении, а затем решим полученную систему.

Дано:

• Система уравнений: \( \begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} = 5 \end{cases} \)

Найти: значения \( x \) и \( y \).

Решение:

Шаг 1: Упростим первое уравнение.

Наименьшее общее кратное (НОК) для 8 и 6 равно 24. Умножим обе части первого уравнения на 24:

1. \( 24 \cdot \left( \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} \right) = 24 \cdot 4 \)
2. \( 24 \cdot \frac{x+y}{8} + 24 \cdot \frac{x-y}{6} = 96 \)
3. \( 3(x+y) + 4(x-y) = 96 \)
4. Раскроем скобки: \( 3x + 3y + 4x - 4y = 96 \)
5. Сгруппируем подобные члены: \( 7x - y = 96 \)

Шаг 2: Упростим второе уравнение.

Наименьшее общее кратное (НОК) для 4 и 3 равно 12. Умножим обе части второго уравнения на 12:

1. \( 12 \cdot \left( \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} \right) = 12 \cdot 5 \)
2. \( 12 \cdot \frac{3x+y}{4} - 12 \cdot \frac{2x-5y}{3} = 60 \)
3. \( 3(3x+y) - 4(2x-5y) = 60 \)
4. Раскроем скобки: \( 9x + 3y - (8x - 20y) = 60 \)
5. \( 9x + 3y - 8x + 20y = 60 \)
6. Сгруппируем подобные члены: \( x + 23y = 60 \)

Теперь у нас есть упрощенная система:

• \( \begin{cases} 7x - y = 96 \\ x + 23y = 60 \end{cases} \)

Шаг 3: Решим упрощенную систему методом подстановки.

Из первого уравнения выразим \( y \):

1. \( -y = 96 - 7x \)
2. \( y = 7x - 96 \)

Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

1. \( x + 23(7x - 96) = 60 \)
2. Раскроем скобки: \( x + 161x - 2208 = 60 \)
3. Сгруппируем подобные члены: \( 162x - 2208 = 60 \)
4. Прибавим 2208 к обеим частям: \( 162x = 60 + 2208 \)
5. \( 162x = 2268 \)
6. Найдем \( x \), разделив обе части на 162: \( x = \frac{2268}{162} \)
7. Сократим дробь. Оба числа делятся на 2: \( x = \frac{1134}{81} \). Теперь видно, что 81 = 9 * 9, и 1+1+3+4 = 9, значит, 1134 делится на 9. \( 1134 / 9 = 126 \). \( 81 / 9 = 9 \). \( x = \frac{126}{9} \). \( 126 / 9 = 14 \).
8. Итак, \( x = 14 \).

Шаг 4: Найдем \( y \).

Подставим \( x=14 \) в уравнение \( y = 7x - 96 \):

1. \( y = 7(14) - 96 \)
2. \( y = 98 - 96 \)
3. \( y = 2 \)

Проверка:

Подставим \( x=14 \) и \( y=2 \) в исходные уравнения:

• Первое: \( \frac{14+2}{8} + \frac{14-2}{6} = \frac{16}{8} + \frac{12}{6} = 2 + 2 = 4 \) (Верно)
• Второе: \( \frac{3(14)+2}{4} - \frac{2(14)-5(2)}{3} = \frac{42+2}{4} - \frac{28-10}{3} = \frac{44}{4} - \frac{18}{3} = 11 - 6 = 5 \) (Верно)

Ответ: \( x = 14, y = 2 \).