8. sin²x + 3 sin x · cos x - 4 cos²x = 0

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $$\cos^2 x$$ (предполагая, что $$\cos x \neq 0$$. Если $$\cos x = 0$$, то $$\sin^2 x = 0$$, что невозможно).

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 3\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 4\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$\\mathrm{tg}^2 x + 3 \mathrm{tg} x - 4 = 0$$

Сделаем замену: пусть $$y = \mathrm{tg} x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + 3y - 4 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$.

Найдем корни $$y$$:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

Теперь вернемся к замене:

Случай 1: $$\mathrm{tg} x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$

Случай 2: $$\mathrm{tg} x = -4$$

$$x = \mathrm{arctg}(-4) + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$ и $$x = \mathrm{arctg}(-4) + \pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$