8. Сторона ВС треугольника АВС продолжена за точку С. На продолжении отмечена точка D так, что AC = CD. Найдите величину угла DAC, если угол АВС равен 85°, а угол ВАС равен 45°.

Решение:

1. Найдем угол ACB в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

\( ∠ ACB = 180^\circ - ∠ ABC - ∠ BAC \)

\( ∠ ACB = 180^\circ - 85^\circ - 45^\circ = 50^\circ \)

2. Угол ACD является развёрнутым углом (180°).

\( ∠ ACD = 180^\circ \)

3. Угол BCD является смежным углу ACB. Его можно найти как \( 180^\circ - ∠ ACB \).

\( ∠ BCD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \)

4. Треугольник ACD — равнобедренный, так как AC = CD (по условию). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

\( ∠ CAD = ∠ CDA \)

5. Угол BCD — это внешний угол треугольника ACD при вершине C. Он равен сумме двух других углов треугольника:

\( ∠ BCD = ∠ CAD + ∠ CDA \)

Так как \( ∠ CAD = ∠ CDA \), то:

\( 130^\circ = 2 ∠ CAD \)

\( ∠ CAD = \frac{130^\circ}{2} \)

\( ∠ CAD = 65^\circ \)

Угол DAC — это тот же угол CAD.

Ответ: 65°.