8. Упростить выражение: (√(cd) − d)/(c + d) · (√c/(√c + √d) + √d/(√c − √d)).

Положим \(p=\sqrt c\), \(q=\sqrt d\). Тогда \(\sqrt{cd}=pq\), а выражение в скобках приводится к общему знаменателю:

\(\frac{p}{p+q}+\frac{q}{p-q}=\frac{p(p-q)+q(p+q)}{(p+q)(p-q)}=\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}\).

Первый множитель равен \(\frac{pq-q^2}{p^2+q^2}=\frac{q(p-q)}{p^2+q^2}\). Перемножаем и сокращаем:

\(\frac{q(p-q)}{p^2+q^2}\cdot\frac{p^2+q^2}{(p-q)(p+q)}=\frac{q}{p+q}=\frac{\sqrt d}{\sqrt c+\sqrt d}\).

Сокращение допустимо при условиях исходного выражения: \(c,d\ge0\), \(c+d\ne0\), \(c\ne d\).

Ответ: √d/(√c + √d).