8. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки B до плоскости (DA₁C₁).

Зададим координаты вершин единичного куба: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\), \(C_1(1;1;1)\).

В плоскости лежат векторы \(\overrightarrow{DA_1}=(0;-1;1)\) и \(\overrightarrow{DC_1}=(1;0;1)\). Их векторное произведение \((-1;1;1)\) — нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости через точку \(D(0;1;0)\): \(-x+(y-1)+z=0\), то есть \(-x+y+z-1=0\).

Расстояние от \(B(1;0;0)\) до этой плоскости:

\(d=\frac{|-1+0+0-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).