8. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 6 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 13, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

8. Решение:

Обозначения:

• Пусть $$N$$ — общее количество головок сыра, которое хранилось в погребе.
• Пусть $$M$$ — количество мышек, которое пришло в первую ночь.
• Пусть $$C$$ — количество сыра (в головках), которое съела каждая мышка в первую ночь.

Из условия задачи:

• Первая ночь:
• $$M \times C = 6$$ (всего съели 6 головок)
• Вторая ночь:
• Пришло 13 мышек.
• Каждая мышка съела в 3 раза меньше сыра, чем накануне: $$C/3$$.
• Общее количество съеденного во вторую ночь: $$13 \times \frac{C}{3}$$.
• Оставшийся сыр был съеден во вторую ночь, значит, количество съеденного во вторую ночь равно оставшемуся сыру.

Составим уравнения:

1. Из первой ночи: $$M \times C = 6$$.
2. Количество съеденного сыра во вторую ночь: $$13 \times \frac{C}{3}$$.
3. Общее количество съеденного сыра: $$6 + 13 \times \frac{C}{3} = N$$.
4. Сыра, съеденного во вторую ночь, также можно выразить через количество оставшегося сыра.
5. Из условия, что каждая мышка во вторую ночь съела в 3 раза меньше, можно предположить, что количество мышек в первую ночь было кратно 3, чтобы $$C$$ было целым или удобной дробью.
6. Рассмотрим варианты для $$M$$ и $$C$$ из $$M \times C = 6$$:
• Если $$M=6$$, $$C=1$$. Во вторую ночь съели $$13 imes rac{1}{3} = rac{13}{3}$$ головок. Всего $$6 + rac{13}{3} = rac{18+13}{3} = rac{31}{3}$$.
• Если $$M=3$$, $$C=2$$. Во вторую ночь съели $$13 imes rac{2}{3} = rac{26}{3}$$ головок. Всего $$6 + rac{26}{3} = rac{18+26}{3} = rac{44}{3}$$.
• Если $$M=2$$, $$C=3$$. Во вторую ночь съели $$13 imes rac{3}{3} = 13$$ головок. Всего $$6 + 13 = 19$$.
• Если $$M=1$$, $$C=6$$. Во вторую ночь съели $$13 imes rac{6}{3} = 13 imes 2 = 26$$ головок. Всего $$6 + 26 = 32$$.
7. Теперь проверим условие, что $$13$$ мышек съели оставшийся сыр, и каждая съела в 3 раза меньше.
8. Рассмотрим вариант, когда $$M=2$$, $$C=3$$.
9. Первая ночь: 2 мышки съели по 3 головки сыра (всего 6 головок).
10. Осталось сыра: $$N - 6$$.
11. Вторая ночь: 13 мышек съели по $$3/3 = 1$$ головке сыра.
12. Всего во вторую ночь съедено: $$13 imes 1 = 13$$ головок.
13. Значит, $$N - 6 = 13$$, откуда $$N = 19$$.
14. Проверим: Если изначально было 19 головок, съели 6, осталось 13. 13 мышек съели по 1 головке, всего 13. Условие выполняется.

Ответ: 19 головок сыра.