8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно 12 см и образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.

Решение: 1. **Определение основных параметров:** - Боковое ребро пирамиды (SA, SB, SC, SD) = 12 см. - Угол между боковым ребром и плоскостью основания = 60°. - Пирамида правильная, значит, в основании квадрат. 2. **Нахождение длины диагонали основания:** - Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, половиной диагонали основания и высотой пирамиды. Обозначим половину диагонали как 'x'. - Используем косинус угла: \(\cos(60^\circ) = \frac{x}{12}\) \(\frac{1}{2} = \frac{x}{12}\) \(x = 6\) см - Диагональ основания (d) = 2x = 2 * 6 = 12 см. 3. **Нахождение стороны основания:** - Пусть сторона квадрата в основании равна 'a'. По теореме Пифагора для квадрата: \(d^2 = a^2 + a^2\) \(12^2 = 2a^2\) \(144 = 2a^2\) \(a^2 = 72\) \(a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) см 4. **Нахождение апофемы боковой грани:** - Рассмотрим треугольник, образованный апофемой (высотой боковой грани), половиной стороны основания и высотой боковой грани. Угол между боковым ребром и основанием 60, а высота пирамиды перпендикулярна основанию. Следовательно, угол между апофемой боковой грани и плоскостью основания тоже равен 60. Таким образом образуется треугольник с углом в 60 градусов между апофемой и высотой боковой грани. Длина апофемы (l) = \( \sqrt{12^2 - 6^2}\) = \( \sqrt{144-36}\) = \( \sqrt{108}\) = \(6\sqrt{3}\) 5. **Площадь боковой поверхности:** - Площадь боковой грани = \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot l\) = \( \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3}\) = \(18\sqrt{6}\) см². Так как 4 грани: - Площадь боковой поверхности = \(4 \cdot 18\sqrt{6}\) = \(72\sqrt{6}\) см². 6. **Площадь основания:** - Площадь основания = \(a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72\) см². 7. **Площадь полной поверхности:** - Площадь полной поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь основания - Площадь полной поверхности = \(72\sqrt{6} + 72\) см². Ответ: Площадь боковой поверхности: \(72\sqrt{6}\) см². Площадь полной поверхности: \(72\sqrt{6} + 72\) см².