9. Высота правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а угол наклона боковой грани к основанию равен 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение: 1. **Определение основных параметров:** - Высота пирамиды (H) = 5 см. - Угол наклона боковой грани к основанию = 45°. - Пирамида правильная, значит, в основании равносторонний треугольник. 2. **Нахождение апофемы боковой грани:** - Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком от основания высоты пирамиды к середине ребра основания. Поскольку угол между апофемой и основанием равен 45°, то этот треугольник равнобедренный и высота пирамиды равна длине отрезка от основания высоты пирамиды к середине ребра основания. Длина этого отрезка равна длине высоты = 5 см. - Апофема (l) является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. \(l = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) см. 3. **Нахождение стороны основания:** - Отрезок от основания высоты пирамиды к середине ребра основания равен 5 см. Этот отрезок равен \( \frac{1}{3}h_a\), где \(h_a\) это высота треугольника основания. \( \frac{1}{3}h_a = 5\), значит \(h_a=15\) - Высота равностороннего треугольника связана со стороной 'a' формулой \( h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Подставим найденную высоту: \(15 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) \( a = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \) см 4. **Площадь основания:** - Площадь равностороннего треугольника = \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(10\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{300\sqrt{3}}{4} = 75\sqrt{3} \) см² 5. **Площадь боковой поверхности:** - Площадь одной боковой грани = \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{6} \) см² - Площадь боковой поверхности = 3 * площадь грани = 3 * \(25\sqrt{6} \) = \(75\sqrt{6}\) см² 6. **Площадь полной поверхности:** - Площадь полной поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь основания = \(75\sqrt{6} + 75\sqrt{3}\) см² Ответ: Площадь полной поверхности: \(75\sqrt{6} + 75\sqrt{3}\) см².