8. В треугольнике ABC медиана BM равна 9 см. Точка K — середина отрезка BM. Найдите длину отрезка AK, если AC = 16 см и AB = BC.

Так как AB = BC, медиана BM проведена к основанию AC и делит его пополам: AM = 16 : 2 = 8 см. В равнобедренном треугольнике эта медиана является высотой, поэтому AM ⟂ BM.

Поскольку K — середина BM, BK = BM : 2 = 4,5 см. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора: AB² = 8² + 9² = 145.

В прямоугольном треугольнике ABK: AK² = AB² − BK² = 145 − 4,5² = 124,75 = 499/4.

Ответ: AK = √499/2 см.