8. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 56 и BC = BM. Найдите AH.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому \(AM=MC=56/2=28\).

Пусть \(AH=x\). Тогда \(MH=AM-AH=28-x\), а \(HC=AC-AH=56-x\). Из прямоугольных треугольников BHM и BHC и условия \(BM=BC\):

\(BH^2+(28-x)^2=BH^2+(56-x)^2\).

Сокращаем \(BH^2\) и получаем \((28-x)^2=(56-x)^2\). Отсюда \(28-x=-(56-x)\), значит \(2x=84\), \(x=42\).

Ответ: 42.