8. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 216, НС = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину отрезка МС.
• ВМ — медиана, значит, она делит сторону АС пополам.
• АС = 216, следовательно, АМ = МС = 216 / 2 = 108.
2. Шаг 2: Найдем длину отрезка NH.
• НС = 54.
• NC = NM + MC.
• NM = NC - MC = 54 - 108 = -54. Это невозможно. Пересмотрим условия.
3. Переосмысление: Если НС = 54, а МС = 108, это означает, что точка H лежит между N и C, а M лежит дальше от C, чем H.
• NC = NM + MC.
• MC = 108.
• AC = 216.
• BC = ?
• В прямоугольном треугольнике ВНС:
• tg(∠ACB) = BH / HC
• tg(40°) = BH / 54
• BH = 54 * tg(40°) ≈ 54 * 0.839 ≈ 45.306
• BC² = BH² + HC²
• BC² = (45.306)² + 54² ≈ 2052.6 + 2916 = 4968.6
• BC ≈ √4968.6 ≈ 70.49
4. Шаг 3: Найдем длину отрезка NM.
• АС = 216, АМ = 108, МС = 108.
• НС = 54.
• Так как МС > НС (108 > 54), точка H находится между A и M.
• NM = MC - HC = 108 - 54 = 54.
5. Шаг 4: Найдем длину отрезка BM.
• В прямоугольном треугольнике BNH:
• BM² = BH² + NM²
• BM² = (45.306)² + 54² ≈ 2052.6 + 2916 = 4968.6
• BM ≈ 70.49
• (Проверка: BC = BM ≈ 70.49, что соответствует условию, если бы оно было BC = BM)
6. Шаг 5: Найдем угол AMB.
• Рассмотрим треугольник BMN.
• У нас есть стороны BM = 70.49 и NM = 54.
• Угол BNM = 90°.
• tg(∠BMN) = BH / NM
• tg(∠BMN) = 45.306 / 54 ≈ 0.839
• ∠BMN = arctg(0.839) ≈ 40°
• Угол AMB является смежным к углу BMN, если M лежит на AC.
• Угол AMB = 180° - ∠BMN = 180° - 40° = 140°.
7. Перепроверка:
• В треугольнике ABC, ∠C = 40°.
• В прямоугольном треугольнике BHC, ∠BHC = 90°, HC = 54, BH ≈ 45.306.
• tg(C) = BH/HC = 45.306 / 54 ≈ 0.839. arctg(0.839) ≈ 40°. Верно.
• AC = 216, AM = MC = 108.
• NM = MC - HC = 108 - 54 = 54.
• В треугольнике BNH, BH ≈ 45.306, NH = 54.
• tg(∠NBM) = NH/BH = 54 / 45.306 ≈ 1.19
• ∠NBM = arctg(1.19) ≈ 49.9°
• Угол ABH = 90 - ∠BAH.
• Рассмотрим треугольник ABH. AH = AC - HC = 216 - 54 = 162.
• tg(∠BAH) = BH/AH = 45.306 / 162 ≈ 0.2796
• ∠BAH ≈ 15.6°
• ∠ABC = 180 - 40 - 15.6 = 124.4°
• Угол AMB - внешний угол треугольника BMN.
• Угол AMB = ∠MBN + ∠BNM (это неверно, т.к. BNM не треугольник)
• Рассмотрим треугольник AMB. AM = 108, BM ≈ 70.49. Угол BAM ≈ 15.6°.
• По теореме косинусов для треугольника AMB:
• BM² = AM² + AB² - 2 * AM * AB * cos(∠BAM)
• AB² = AH² + BH² = 162² + 45.306² ≈ 26244 + 2052.6 = 28296.6
• AB ≈ 168.2
• 70.49² = 108² + 168.2² - 2 * 108 * 168.2 * cos(15.6°)
• 4968.6 ≈ 11664 + 28291 - 36350 * 0.963 ≈ 39955 - 34999 ≈ 4956
• Угол AMB - это угол в треугольнике AMB.
• Рассмотрим треугольник BHC: tg(40) = BH/54 => BH = 54*tg(40)
• Рассмотрим треугольник BHM: tg(∠BMH) = BH/HM = (54*tg(40))/(108-54) = (54*tg(40))/54 = tg(40).
• Значит, ∠BMH = 40°.
• Угол AMB = 180° - ∠BMH = 180° - 40° = 140°.

Ответ: 140°