8. В записи числа 111…1 (всего 30 единиц) можно заменить одну из единиц на другую цифру от 0 до 9. Можно ли так изменить одну цифру, чтобы получившееся число делилось на 8? Если можно — приведите пример, если нельзя — докажите.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8. Исходно последние три цифры — 111. Чтобы изменить одну цифру и получить число, делящееся на 8, можно заменить цифру разряда сотен: последние три цифры станут 011, 111, 211, …, 911. Эти числа при делении на 8 имеют остатки 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7 соответственно. Ни одно не делится на 8.

Если заменить цифру десятков или единиц, последние три цифры будут иметь вид 1x1 или 11x. Число вида 1x1 нечётно, а числа вида 11x могут делиться на 8, только если их последняя цифра чётная. Для 110, 112, 114, 116 и 118 остатки при делении на 8 равны 6, 0, 2, 4 и 6. Значит, заменой цифры десятков на 1 можно получить 112, которое делится на 8.

Например, заменим на 1 цифру десятков в последних трёх разрядах: число станет 111…1112. Его последние три цифры — 112, а 112 делится на 8.

Ответ: можно; например, число 111…1112 делится на 8.