8) y = ctg x * x^7

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций $$y = extrm{ctg } x extrm{ ⋅ } x^7$$, используем правило произведения: $$(uv)' = u'v + uv'$$.

1. Пусть $$u = extrm{ctg } x$$, тогда $$u' = -rac{1}{ extrm{sin}^2 x}$$.
2. Пусть $$v = x^7$$, тогда $$v' = 7x^6$$.
3. Применяем правило произведения: $$y' = (-rac{1}{ extrm{sin}^2 x}) \cdot x^7 + ( extrm{ctg } x) \cdot (7x^6)$$.
4. Упрощаем: $$y' = -\frac{x^7}{\textrm{sin}^2 x} + 7x^6 extrm{ctg } x$$.

Ответ: $$y' = -\frac{x^7}{\textrm{sin}^2 x} + 7x^6 extrm{ctg } x$$