81. (ОБЗ) Цилиндр, объём которого равен 21, описан около шара. Найдите объём шара.

Дано:

• Объём цилиндра: V_цил = 21
• Цилиндр описан около шара (это значит, что высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара).

Найти:

• Объём шара: V_шар

Решение:

1. Формулы объёмов:
   • Объём цилиндра: V_цил = π * R² * H
   • Объём шара: V_шар = (4/3) * π * R³
2. Связь между цилиндром и шаром:
   • Высота цилиндра H = 2 * R (где R — радиус шара).
   • Радиус основания цилиндра = Радиус шара (R).
3. Подставляем связь в формулу объёма цилиндра:
   • V_цил = π * R² * (2 * R) = 2 * π * R³
4. Находим соотношение объёмов:
   • V_шар / V_цил = ((4/3) * π * R³) / (2 * π * R³)
   • V_шар / V_цил = (4/3) / 2 = 4 / 6 = 2/3
   • Значит, V_шар = (2/3) * V_цил
5. Вычисляем объём шара:
   • V_шар = (2/3) * 21 = 2 * 7 = 14

Ответ: 14