85. (ОБЗ) Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 32. Найдите объём шара.

Дано:

• Конус вписан в шар.
• Радиус основания конуса (r) = Радиус шара (R).
• Объём конуса: V_кон = 32

Найти:

• Объём шара: V_шар

Решение:

1. Формулы объёмов:
   • Объём конуса: V_кон = (1/3) * π * r² * h
   • Объём шара: V_шар = (4/3) * π * R³
2. Связь между конусом и шаром:
   • По условию, r = R.
   • В этом случае, так как конус вписан в шар и радиус его основания равен радиусу шара, высота конуса h будет равна радиусу шара R.
   • То есть, h = R.
3. Подставляем связь в формулу объёма конуса:
   • V_кон = (1/3) * π * R² * R = (1/3) * π * R³
4. Находим объём шара:
   • Мы знаем, что V_кон = (1/3) * π * R³ = 32.
   • Теперь сравним объём конуса с объёмом шара:
   • V_шар = (4/3) * π * R³ = 4 * ((1/3) * π * R³)
   • V_шар = 4 * V_кон
   • V_шар = 4 * 32 = 128

Ответ: 128