82. (ОБЗ) Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 36. Найдите площадь поверхности шара.

Дано:

• Площадь полной поверхности цилиндра: S_цил = 36
• Шар вписан в цилиндр (Высота цилиндра равна диаметру шара, радиус основания цилиндра равен радиусу шара).

Найти:

• Площадь поверхности шара: S_шар

Решение:

1. Формулы площадей:
   • Площадь полной поверхности цилиндра: S_цил = 2 * π * R * H + 2 * π * R²
   • Площадь поверхности шара: S_шар = 4 * π * R²
2. Связь между цилиндром и шаром:
   • Высота цилиндра H = 2 * R (где R — радиус шара).
   • Радиус основания цилиндра = Радиус шара (R).
3. Подставляем связь в формулу площади цилиндра:
   • S_цил = 2 * π * R * (2 * R) + 2 * π * R²
   • S_цил = 4 * π * R² + 2 * π * R² = 6 * π * R²
4. Находим площадь поверхности шара:
   • Из формулы площади цилиндра: S_цил = 6 * π * R² = 36
   • Отсюда: π * R² = 36 / 6 = 6
   • Теперь подставляем значение π * R² в формулу площади шара:
   • S_шар = 4 * (π * R²) = 4 * 6 = 24

Ответ: 24