81. С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство: а) \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\); б) \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\). Указание. Для доказательства нужно изобразить оба события на диаграмме Эйлера. Если изображения совпадают, то совпадают и события.

а) \(\overline{A\cap B}\) — вся область вне общей части кругов A и B. Множество \(\overline{A}\cup\overline{B}\) состоит из области вне A или вне B; оно включает все точки, кроме принадлежащих одновременно A и B. На диаграмме закрашивается одна и та же область, следовательно, \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\).

б) \(\overline{A\cup B}\) — область вне обоих кругов. Пересечение \(\overline{A}\cap\overline{B}\) также состоит из точек, не принадлежащих ни A, ни B. Диаграммы совпадают, поэтому \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\).