82.3. 1) На рисунке 217 точки M, H и P — середины соответственно отрезков AD, DC, AB, PK ∥ MH. Найдите периметр четырёхугольника MHPK, если AC = 8 см, BD = 10 см. 2) Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC, K — середина отрезка MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK? Ответ обоснуйте.

1) В треугольнике ADC точки M и H — середины сторон AD и DC. Поэтому MH — средняя линия:

MH = AC : 2 = 8 : 2 = 4 см.

Так как P — середина AB и PK ∥ MH ∥ AC, то в треугольнике ABC отрезок PK — средняя линия. Следовательно, K — середина BC и PK = AC : 2 = 4 см.

По рисунку отрезки HP и KM — средние линии соответствующих треугольников, поэтому HP = KM = BD : 2 = 10 : 2 = 5 см.

Периметр: 4 + 5 + 4 + 5 = 18 см.

Ответ: 18 см.

2) Прямые MA и CK скрещиваются. Предположим, что они лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит M и K, а значит, и прямую MB, поэтому содержит B. Также она содержит A и C. Тогда она содержит плоскость ABC и точку M, что противоречит условию, что M не лежит в плоскости ABC.

Ответ: MA и CK — скрещивающиеся прямые.