83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) √((7−4√3)²)−√((4−2√3)²); б) √((37+12√7)²)+√((37−12√7)²).

а) По свойству \(\sqrt{x^2}=|x|\):

\(7-4\sqrt3>0\), \(4-2\sqrt3>0\), поэтому

\(\sqrt{(7-4\sqrt3)^2}-\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}=7-4\sqrt3-(4-2\sqrt3)=3-2\sqrt3\).

Полученное число иррационально. Следовательно, в подпункте а) в условии, вероятно, есть опечатка: приведённое выражение не является рациональным.

б) Так как \(37-12\sqrt7>0\), имеем

\(\sqrt{(37+12\sqrt7)^2}+\sqrt{(37-12\sqrt7)^2}=37+12\sqrt7+37-12\sqrt7=74\).

Ответ: а) выражение равно \(3-2\sqrt3\) и является иррациональным; б) 74.