83. Найдите отрезок или угол, обозначенные знаком вопроса (рис. 132). Объясните свой ответ. а) В треугольнике отмечены равные боковая сторона и основание; угол при правой вершине основания равен 70°, требуется найти угол при верхней вершине. б) Прямоугольный треугольник имеет катеты 20 и 20; биссектриса прямого угла делит гипотенузу, верхний отрезок которой равен 12; требуется найти нижний отрезок гипотенузы. в) В треугольнике отмечены равные углы при верхней и левой нижней вершинах; левая сторона равна 21, правая — 22; требуется найти основание. г) В треугольнике внешний угол при левой вершине равен 155°, угол при верхней вершине равен 25°; точка на боковой стороне делит её пополам, из этой точки проведён отрезок к правой нижней вершине; требуется найти угол между этим отрезком и нижней частью боковой стороны.

а) Отмеченные стороны равны, значит, треугольник равнобедренный. Углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Поэтому искомый угол равен 70°.

б) По теореме о биссектрисе отрезки гипотенузы относятся как прилежащие стороны: \(20:20=1:1\). Следовательно, отрезки равны. Искомый отрезок равен 12.

в) Равным углам противолежат равные стороны. Основание лежит напротив верхнего угла, а правая сторона длиной 22 — напротив левого нижнего угла. Значит, основание равно 22.

г) Внутренний угол при левой вершине равен \(180°-155°=25°\). Он равен углу при верхней вершине, поэтому противолежащие им стороны равны. Треугольник равнобедренный, а проведённый из вершины к середине основания отрезок является медианой. В равнобедренном треугольнике такая медиана перпендикулярна основанию. Искомый угол равен 90°.