87. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180°.

\( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \)

\( 134^\circ + \angle ADC = 180^\circ \)

\( \angle ADC = 180^\circ - 134^\circ \)

\( \angle ADC = 46^\circ \)

Угол ABD является частью угла ADC. Также, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол ABD опирается на дугу AD, а угол ACD также опирается на дугу AD. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD \).

Угол CAD равен 81°. Угол BCD равен 180° - 134° = 46°.

В треугольнике ACD, \( \angle CAD = 81^\circ \) и \( \angle ADC = 46^\circ \).

\( \angle ACD = 180^\circ - (81^\circ + 46^\circ) \)

\( \angle ACD = 180^\circ - 127^\circ \)

\( \angle ACD = 53^\circ \)

Так как \( \angle ABD = \angle ACD \), то \( \angle ABD = 53^\circ \).

Ответ: 53.