87. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) По двум равным углам треугольники BAC и ACD подобны. Соответствие вершин: B ↔ A, A ↔ C, C ↔ D. Из равенства соответствующих углов получаем AB ∥ CD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

б) По условию AB ∥ CD. Проведём диагональ AC. Из параллельности AB и CD следует равенство накрест лежащих углов ∠BAC = ∠ACD. Так как ∠A = ∠C, то после вычитания равных углов получаем ∠DAC = ∠BCA. Это равенство накрест лежащих углов при прямых AD и BC и секущей AC, поэтому AD ∥ BC. Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.