87 В торговом центре недалеко друг от друга расположены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к вечеру в первом автомате закончится кофе, равна 0.3. Такая же вероятность того, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность события: а) «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов»; б) «кофе закончится только в одном из автоматов».

Решение:

Обозначим события:
\( A \) — в первом автомате закончится кофе;
\( B \) — во втором автомате закончится кофе.

Из условия задачи имеем:
\( P(A) = 0,3 \)
\( P(B) = 0,3 \)
\( P(A \cap B) = 0,12 \)

1. а) «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов». Это событие соответствует объединению событий \( A \) и \( B \), то есть \( A \cup B \).
   Воспользуемся формулой сложения вероятностей:
   \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
   \( P(A \cup B) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,6 - 0,12 = 0,48 \)
2. б) «кофе закончится только в одном из автоматов». Это означает, что кофе закончится либо в первом, либо во втором автомате, но не в обоих одновременно. Это можно представить как \( (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \).
   Вероятность этого события можно найти двумя способами:
   Способ 1:
   \( P(\text{только в одном}) = P(A \cup B) - P(A \cap B) \)
   \( P(\text{только в одном}) = 0,48 - 0,12 = 0,36 \)
   Способ 2:
   \( P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,3 - 0,12 = 0,18 \)
   \( P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,3 - 0,12 = 0,18 \)
   \( P(\text{только в одном}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0,18 + 0,18 = 0,36 \)

Ответ: а) 0,48; б) 0,36.