Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 91 Пользуясь диаграммой Эйлера для событий А, В и С, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий: P(AUBUC) = P(A)…Фото задания

Ответ:

Вывод формулы сложения вероятностей для трёх событий:

Формула сложения вероятностей для трёх событий \( A, B, C \) выглядит так:
\( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \)

Логика вывода:

  1. Шаг 1: Складываем вероятности каждого события.
    \( P(A) + P(B) + P(C) \)
    На этом шаге мы учли все элементы, входящие хотя бы в одно из событий. Однако, элементы, которые входят в два события (пересечения \( A \cap B \), \( A \cap C \), \( B \cap C \)), были учтены дважды.
  2. Шаг 2: Вычитаем вероятности попарных пересечений.
    \( P(A \cup B \cup C) = (P(A) + P(B) + P(C)) - (P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)) \)
    После этого шага элементы, которые входят только в одно событие, учтены один раз (правильно). Элементы, которые входят ровно в два события, учтены 2 - 2 = 0 раз (неправильно, они должны быть учтены один раз). Элементы, которые входят во все три события (тройное пересечение \( A \cap B \cap C \)), были учтены трижды (в \( P(A) \), \( P(B) \), \( P(C) \)), а затем вычтены трижды (по одному разу в каждом из попарных пересечений). Таким образом, тройное пересечение учтено 3 - 3 = 0 раз (неправильно, оно должно быть учтено один раз).
  3. Шаг 3: Добавляем вероятность тройного пересечения.
    \( P(A \cup B \cup C) = (P(A) + P(B) + P(C)) - (P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)) + P(A \cap B \cap C) \)
    Теперь элементы, входящие только в одно событие, учтены один раз. Элементы, входящие ровно в два события, были учтены 0 раз, и так как они не входят в \( P(A \cap B \cap C) \), то они так и остаются не учтенными. Ошибка в предыдущем пункте, исправим: элементы, входящие ровно в два события, были учтены 2 раза, затем вычтены 1 раз, то есть учтены 2-1=1 раз. Это правильно. Элементы, входящие во все три события, были учтены 3 раза, затем вычтены 3 раза, то есть учтены 0 раз. Теперь мы добавляем \( P(A \cap B \cap C) \), и эти элементы учитываются в первый раз.

Таким образом, каждый элемент, входящий хотя бы в одно из событий \( A, B, C \), учтен ровно один раз.