877. Даны вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

Высота из D к плоскости ABC равна модулю смешанного произведения векторов \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\), делённому на площадь параллелограмма, построенного на \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB}=(2;-2;-3),\quad \overrightarrow{AC}=(4;0;6),\quad \overrightarrow{AD}=(-7;-7;7)\).

\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-12;-24;8)\), поэтому \(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{144+576+64}=28\).

Смешанное произведение:

\((\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=(-12)(-7)+(-24)(-7)+8\cdot7=308\).

Следовательно, высота \(h=\frac{308}{28}=11\).

Ответ: 11.