Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 88. Найти все принадлежащие промежутку (−π/2; π/2) решения неравенства: 1) tg 2x ≤ 1; 2) tg 3x < −√3; 3) ctg (x/2) < √3/3; 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Положим t = 2x, тогда −π < t < π. На промежутках определения tg t ≤ 1 даёт t ∈ (−π/2 + kπ; π/4 + kπ]. Пересекаем с (−π; π): t ∈ (−π; −3π/4] ∪ (−π/2; π/4]. Делим границы на 2: x ∈ (−π/2; −3π/8] ∪ (−π/4; π/8].
  2. Положим t = 3x, тогда −3π/2 < t < 3π/2. На каждом периоде tg t < −√3 при t ∈ (−π/2 + kπ; −π/3 + kπ). Пересечение с указанным промежутком даёт x ∈ (−π/2; −4π/9) ∪ (−π/6; −π/9) ∪ (π/6; 2π/9).
  3. Здесь −π/4 < x/2 < π/4. Котангенс убывает; ctg(x/2) = √3/3 при x/2 = π/3, что вне этого промежутка. На всём промежутке ctg(x/2) > √3/3, поэтому решений нет.
  4. Здесь −π/6 < x/3 < π/6. Точка x/3 = 0 не входит в область определения котангенса. При x/3 < 0 котангенс отрицателен, а при 0 < x/3 < π/6 он больше 1. Следовательно, x ∈ (0; π/2).